Grondtal

Laatst las ik op Reddit een kleine discussie over breuken. Iemand merkte op dat hij breuken helemaal niet fijn vind, met als argument dat het voor hem of haar veel lastiger was om de grootte van het getal te schatten in vergelijking met de decimale uitdrukking. Dit stemde mij zeer gelukkig, want ik ben ook van die kerk. Ik vind niets fijn aan 1/7, doe mij maar 0.1428nogwat. Op de middelbare school werd ik een meester in het razendsnel schatten en omgooien van decimalen naar breuken, omdat ik altijd rekende met decimalen maar de opdracht soms was om te antwoorden met een breuk.

Het nadeel is natuurlijk evident: sommige getallen zijn niet met een beperkt aantal cijfers uit te drukken als decimaal getal. Toen ik net even dromerig uit het raam staarde, en bovenstaande vergeleek met hoe een computer het verschil kent tussen integers en floats, besefte ik me opeens dat met een decimale uitdrukking je eigenlijk de kwantiteit die je wil uitdrukken bemonstert. Als wetenschapper dien je metingen altijd met de juiste significantie en fout uit te schrijven, maar als je stiekum doorrekent met je eigen getallen neem je altijd zoveel mogelijk decimalen mee en rond je pas aan het einde af. Anders is de fout veel groter dan nodig. Maar het zou dus kunnen dat in getalstelsel met een ander grondtal je toevalligerwijze dichterbij sommige waarden in de buurt komt dan andere, en alleen daarom we misschien sommige waarden toevallig net iets minder goed benaderen dan als we bijvoorbeeld 9 vingers aan drie handen hadden gehad. Is dat raar? Eigenaardig…

Met Wikipedia in de hand kwam ik erachter dat (uiteraard) vele wiskundigen hier al grondig (haha) over na hebben gedacht, en zelfs (of eigenlijk nu ook weer: uiteraard) met een negatief grondtal op de proppen zijn gekomen. Wat een mallerds! Maar via de pagina over het Faculteitssysteem bedacht ik me opeens dat Fourieranalyse, Laplacetransformaties, en zelfs de reeksontwikkeling van de sinus niets meer zijn dan het uitdrukken van functies in een basis. Ik probeer weleens wat theorie van muziek encoders (LAME, Vorbis, AAC) te begrijpen, en daar is het zeer gebruikelijk om eerst een geluidssignaal maar eens te bemonsteren, en daar beperk je, los van verdere compressie door algoritmes nog, ook al enkele fundamentele eigenschappen van het (bemonsterde) signaal. Nyquist komt om de hoek kijken en eigenlijk is dat een voorbeeld van het probleem waar ik mee begon: door een getalstelsel te kiezen leg je op een bepaalde manier al je resolutie vast.

Ik merk dat ik hier onvoldoende kennis heb om het precies te zeggen, maar vandaag kwam ik een stap verder! Zo is het toch wel weer leuk, die wiskunde! Waarom moesten we toch al die vreselijke sommetjes doen in de bachelor als je hier over na kunt denken?